박현우 멘토 / 서울대 응용생물학과
“결코 무너지지 않는 기초를 세워드리겠습니다”
기초는 ‘쉬운’ 게 아니라 ‘중요한’ 것입니다
많은 학생들이 기초를 얕잡아 봅니다. 기초는 쉬우니까, 이미 여러 번 봤던 거니까 좀 넘어가도 되는 것쯤으로 생각합니다. 하지만 기초는 ‘쉬운’ 게 아니라 ‘중요한’ 것입니다. 그렇기에 수학 공부에 있어 아무리 강조해도 지나치지 않은 것이 바로 기초 개념입니다.
중학교 때까지만 해도 저는 공부에 욕심이 있는 학생이 아니었습니다. 학교와 학원을 그저 관성적으로 오갈 뿐, 공부에 대한 의지도 저만의 공부법도 없는 상태였죠. 그런 상태로 일반계 고등학교에 진학했고, 입학 후 처음 치른 모의고사 수학 영역에서 53점을 받았습니다. 겨우 반타작을 하고나니 정신이 좀 들더군요. 대학에 가려면 수학을 지금 잡아야겠다는 생각이 들었습니다.
그 해 겨울방학부터 저는 마음을 다잡고 공부다운 공부를 시작했습니다. 3개월도 되지않는 방학은 사실 그리 길지 않았지만, 마음을 잡고 공부한다면 수학의 기본기를 잡기에 충분한 시간이었죠. 저는 다른 문제집 없이, 수학 공부의 바이블로 불리는 ‘수학의 정석’ 10-가, 나, 수학1, 수학2 네 권만을 집중적으로 풀었습니다.
첫 번째 회차에서는 개념 학습과 문제풀이 비중을 9:1로 잡았습니다. 그야말로 기초 개념부터 시작하는 것이었기에 원리를 이해하고, 완벽하게 숙지했다고 판단될 때까지 개념 학습에 치중해야만 했습니다. 두 번째 회차에서는 문제풀이 비중을 늘려 개념 학습과 문제풀이 비중을 7:3으로 바꾸었습니다. 세 번째 회차에서 그 비중은 5:5까지 늘어났죠. 이렇게 개학 직전까지 저는 정석을 세 번 완독했습니다. 그 결과, 2학년이 되어 처음 치른 모의고사에서 저는 2등급을 기록하며 성적 향상을 맛보게 되었습니다.
개념 학습의 중요성: 배운 내용으로 강의를 할 수 있을 때까지
개념과 문제 풀이 비중을 9:1로 두고 시작한다는 것에서부터 확인할 수 있듯이, 제 공부법은 개념을 완벽하게 숙지하기 전까지 문제풀이를 보류합니다. 기초 개념은 가장 중요한 것이고, 개념이 완벽하지 않다면 문제풀이도 완벽할 수 없기 때문이죠. 저는 개념을 숙지하고, 모든 공식의 유도 과정을 스스로 증명할 수 있을 때까지 거듭 이해하고, 한 단원을 마치고 난 뒤에는 그 단원을 다른 친구들에게 강의할 수 있을 정도로 완벽하게 정리했습니다. 심지어 수능 직전까지도 파이널 문제를 푸는 동시에 10퍼센트 정도의 시간을 할애해 복잡한 개념을 복습했습니다.
저는 학생들을 지도할 때도 같은 방식을 사용합니다. 한 페이지 가득 개념의 증명과 공식의 유도 과정을 써내려 갈 수 있도록 하고, “네가 한 번 설명해봐”라고 말합니다. 그럼 많은 학생들이 당황합니다. 문제는 풀 줄 알지만, 정작 그 문제가 다루고 있는 개념에 대해서는 기본적인 이해도 되어있지 않은 경우가 너무나 많기 때문입니다. 이를테면, ‘수열의 극한’ 단원의 문제를 풀게 했을 때 답을 구할 수는 있지만, 정작 극한이 무엇인지 물어보면 입을 열지 못하는 거죠. 이런 경우 그 단원을 이해했다고 할 수 있을까요? 다른 문제는 잘 풀 수 있을까요? 아마 아닐 겁니다.
예를 들어 타원의 방정식을 배운다고 해 봅시다. 단순히 타원의 방정식의 표준형을 암기한다면, 단순한 유형의 문제풀이는 할 수 있을지 모릅니다. 하지만 시험에서 우리가 마주하는 문제는 그렇게 단순하지 않습니다. 문제를 읽고 공식을 세워 답을 풀어나가기 위해서는 타원의 정의를 알고, 그 속성에 따라 공식을 유도해내고 증명할 수 있어야 합니다. 그렇지 않고서는 고배점 문제를 풀 수 없습니다. 학생들은 억울해 합니다. ‘나는 분명 공식을 외우고 있는데, 왜 이 문제를 못풀었지?’ 중요한 것은 공식을 외우고 있느냐 없느냐가 아닙니다. 문제가 묻고 있는 개념을 파악하고 공식을 유도해내는 것이죠.
수학 공부는 머리가 아닌 손으로!
이 과정에서 손을 쓰는 연습이 필요합니다. 수학에서 하나의 개념을 심도 있게 이해하고 자기 것으로 만들기 위해서는, 원리의 증명과 공식의 유도 과정을 완벽하게 숙지하고 있어야 합니다. 그래서 저는 학생들이 직접 손을 써서 문제를 풀 때 빈번히 사용하는 공식들이 어떻게 유도되었는지 반복하여 증명하도록 지도합니다. 빈 공책에 스스로 수학적 원리를 증명해 내려가는 과정을 통해 학생들은 수학적 사고방식을 이해할 수 있습니다. 수능 수학영역에서의 고득점 문제들은 긴 풀이과정을 요합니다. 이 과정에서 각각의 개념들을 이어줄 수 있어야 하죠. 이 부분을 손도 못대고 어려워만 하는 아이들이 많습니다. 이를 극복하기 위해서 스스로 써가며 공식을 증명하는 연습이 필요한 것입니다.
저는 학생들에게 문제풀이 대신 증명과정을 써 오라는 숙제를 내 주곤 합니다. 그리고 수업시간에는 그 과정을 직접 제게 설명하게 하죠. 이 과정에서 학생이 개념을 제대로 이해하고 있는지 그렇지 못한 지가 드러납니다. 그래서 학생이 제대로 설명할 수 있을 때까지 반복하게 하죠. 기초 개념에 있어서는 결코 빈틈을 남기지 않기 위함입니다.
수준별 맞춤형 집중 프로그램을 제공합니다
사례 1)
동혁(가명)이가 저를 만난 건 고등학교 2학년에서 3학년으로 넘어가는 겨울방학이었습니다. 동혁이의 수학 성적은 30명 중에서 20등 근처를 맴돌고 있었죠. 제 경험을 살려 개념 대 문제풀이 9:1 비중의 공부 계획을 세우게 하고, 가장 중요한 수열 파트 개념부터 잡아가도록 지도했습니다. 기초를 완벽하게 다질 수 있도록, 교과서에 나오는 모든 공식의 유도 과정과 원리들을 선생님처럼 설명할 수 있도록 지도했죠. 하위권 학생이었기에 문제풀이는 기본적인 계산 연습에 집중할 수 있게 하였습니다.
수학 교과목의 개념 위주 지도와 기초를 탄탄히 하는 것에 몰두하는 학습관 지도가 함께 빛을 발하여, 20등이었던 동혁이의 성적은 다음 시험에서 5등으로 껑충 뛰었습니다. 이후로도 제가 지도한 공부법을 적용하여 자기주도적 학습을 이어나간 동혁이는 꾸준히 좋은 성적을 유지했습니다. 반에서 20등을 맴돌던 시절에는 수학 시험지를 받고도 풀 수 있는 문제가 없었는데, 저와 함께 공부를 하며 문제를 푸는 기쁨을 느끼게 되었다는 동혁이의 말은 제게는 큰 기쁨이었습니다.
사례 2)
재민(가명)이는 중학교 때까지 ‘수학 좀 한다’던 학생이었습니다. 머리는 따라주지만 왜 공부를 해야하는가에 대한 동기부여가 되지 않아 연필을 손에 쥐지 않는 학생이었죠. 그렇게 동기가 부재한 상태로 고등학교에 진학하고, 재민이의 성적은 만년 4등급에 머물렀습니다. 저는 재민이가 공부를 해야하는 이유를 찾아주는 데서부터 시작해야 했습니다.
아이들에게 부모님은 너무 먼 미래입니다. ‘이게 다 너를 위한 길이다’, ‘다 너 좋으라고 시키는 거다’라는 말들로 아이들을 공부하게 만들기는 쉽지 않습니다. 아이들이 몇 십년 뒤의 자기 모습을 상상하며 자극을 받는 건 아니기 때문이죠. 중고등학생들이 상상하고, 기대하는 건 단지 몇 년뒤의 자기 모습입니다. 멘토는 부모님들과는 달리, 학생들의 가까운 미래와 비슷하기 때문에 훨씬 더 직접적으로 와닿는 동기부여를 해줄 수 있습니다. 저는 재민이에게 귀에 딱지가 앉도록 동기의 중요성에 대해 이야기해주었습니다. 진로 상담부터 진학 컨설팅에 이르기까지, 수학 공부와 동기부여 재민이는 저를 만나 두 마리 토끼를 잡을 수 있었습니다. 저와 함께 공부하며 자기도 잘 모르고 있던 꿈을 찾았고, 찾아낸 목표를 향해 노력할 수 있는 방향을 잡게 되었죠.
재민이와 저는 고등학교 1학년 말부터 2학년 중간고사 때까지, 6개월 집중프로그램을 통해 수학을 휘어잡았는데요, 이 시기는 실제로 멘토인 제가 수학 공부의 기반을 다진 시기와 정확히 일치합니다. 게다가 재민이의 성적도 저와 비슷했던 터라 중위권인 재민이를 어떻게 상위권으로 올려줄 수 있을지 지도 방법이 머릿 속에 그려졌죠.
어느 정도 문제는 풀 수 있지만, 기초부터 꼼꼼히 공부한 게 아니었기에 재민이와 저는 개념대 문제풀이 9:1 비중으로 수학 공부를 시작했습니다. 재민이는 다 안다고 했지만, 막상 쉬운 개념들을 막연하게만 이해하고 있는 경우가 많았기 때문이죠. 저는 과감하게 개념에 집중한 수업을 진행했고, 이후 점점 난이도를 높여 나가며 문제풀이를 병행했습니다. 마침내 4등급에 머물러 있던 재민이의 성적은 2등급으로 올랐습니다.
사례 3)
윤오(가명)는 수학에 자신이 있는 최상위권 학생이었습니다. 그러나 모의고사에서 4점짜리 문제를 자주 놓치는 실수가 잦아서 불안해하곤 했죠. 제가 윤오에게 준 솔루션은 ‘풀이노트’와 ‘양치기’였습니다. 이미 실력이 쌓여 있는 상위권 학생들의 경우 배운 내용을 빠르게 습득하고 응용하는 데 능하기 때문에 욕심이 앞서 성급하게 문제를 풀다가 실수를 저지르곤 합니다.
저는 윤오에게 메인 교재와는 별도로 고난이도 문제들을 제공해주면서 풀이 노트를 반드시 작성하게끔 했습니다. 유선 노트에 차례로 풀이 과정을 써내려가면 실수를 하더라도 어느 부분에서 실수했는지 금방 파악할 수 있기 때문이죠. 그리고 제가 수능을 앞두고 실수를 줄이기 위해 많은 문제를 풀어나가는 ‘양치기’ 방식으로 문제풀이 훈련한 경험을 바탕으로, 매일 빠짐없이 꾸준히 많은 문제를 풀 수 있도록 지도했습니다. 개념이 부족한 상태에서 ‘양치기’ 로 승부를 보는 것은 어리석은 짓이지만, 개념이 완벽한 상태에서 문제풀이 양을 늘리는 것은 풀이의 속도를 높여주기 때문이죠. 실전에서 빠른 속도로 문제를 풀면서도 실수를 하지 않기 위해서는 양치기를 통해 문제풀이의 감을 유지하는 것도 좋은 전략입니다.
물론 최상위권이라고 하더라도 개념 학습을 완전히 놓지는 않았습니다. 수업을 할 때는, 해당 단원이 아닌 다른 단원의 문제를 기습적으로 질문하곤 함으로써 윤오가 전 범위의 개념을 늘 휘어잡고 있게 자극을 주었습니다. 어떤 기습 질문을 받더라도 대답할 수 있게, 개념을 꾸준히 보충하도록 한 것이죠. 수능 직전까지도 개념과 문제풀이의 비중을 2:8, 1:9 정도로 유지하며 기초가 중요하다는 것을 인지시켰습니다.
밑 빠진 독의 밑을 메워 드리겠습니다
밑 빠진 독에 물 붓는 일만큼 의미 없고 허무한 일이 또 있을까요? 공부를 열심히 한다고 해도, 숙지된 기초 개념이 완벽하지 않아 여기저기 구멍을 가지고 있다면 그 학생은 밑 빠진 독과 같습니다. 독의 바닥에 금이 가 있는 걸 모른다면 물을 아무리 많이, 빠르게 붓는다고 해도 결코 독을 채울 수 없습니다. 기초가 완벽하지 않은 상태에서 공부의 양을 늘리고, 문제 푸는 속도를 높이려 하는 것도 마찬가지입니다. 물을 채우기 위해서는 독 바닥의 구멍부터 메워야 합니다.
저는 밑 빠진 독의 밑을 메우는 멘토가 되겠습니다. 완벽한 기초 개념의 숙지와 반복되는 원리 학습으로, 공부의 밑바닥을 확실하게 다질 수 있도록 도와드리겠습니다. 일단 튼튼한 밑바닥이 갖춰지고 나면, 그 독에 물을 채우는 것은 시간문제입니다. 때로는 밖에 두기만 해도 빗물을 받아 속이 점점 차오르게 됩니다. 이처럼 저와 함께 기본 개념을 탄탄하게 만들어두면, 이후 공부하는 모든 내용이 차곡차곡 담겨 마침내 목표에 도달하게 될 것입니다.
서울대학교 응용생물학과